Морозов родился в Москве, до 17 лет катался как одиночник, а затем перешёл в танцы. После распада СССР Николай некоторое время выступал за Азербайджан, но затем встал в пару с Татьяной Навкой и стал кататься за Беларусь. Некоторые источники сообщают, что для получения гражданства Николаю пришлось вступить с партнёршей в фиктивный брак.
"Был ли я женат на Навке? Слухи! Хотя… Может, и был, сейчас припоминаю. Она же сама украинка, каталась за Белоруссию с Самвелом Гезоляном. И когда мы с Татьяной встали в пару, чтобы мне стать "белорусом", это и придумали. Чего только не сделаешь… Но свадьбы не было", - цитирует портал Sport24 Морозова.
После Зимних Олимпийских игр 1998 года, где Навка и Морозов стали 16-ми, тренеры решили сделать рокировку и поставили Морозова в пару с Екатериной Давыдовой - дуэт начал выступать за Россию. Однако спустя год Николай принял решение завершить карьеру фигуриста и войти в тренерский штаб Татьяны Тарасовой. В этом же году Морозов впервые официально женился на французской фигуристке Каролин Дюарин, а через два года у них родилась дочь Аннабель, которая сейчас выступает в дуэте с Андреем Багиным.